Анализ производственных функций

Производственная функция Х= F ( K , L ) называется неоклассической, если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддающимся естественной экономической интерпретации: 1) F(0, L) = F(K, 0) = 0 - при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно; 2) - с ростом ресурсов выпуск растет; 3) - с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется; 4) f(+ , L) = F(K, + ) = + - при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет.

Мультипликативная ПФ задается выражением a 1 >0 a 2 >0 где А — коэффициент нейтрального технического прогресса; а 1 , a 2 -коэффициенты эластичности по труду и фондам . Таким образом, ПФ обладает свойством 1, адекватным реальной экономике: при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно.

Частным случаем этой функции служит функция Кобба-Дугласа Где a 1 =a, a 2 =1-a Мультипликативная ПФ определяется по временному ряду выпусков и затрат ресурсов (Х t , К t , L t ,), t = 1, ..., Т, где T - длина временного ряда, при этом предполагается, что имеет место Т соотношений где d t — корректировочный случайный коэффициент, который приводит в соответствие фактический и расчетный выпуск и отражает флюктуацию результата под воздействием других факторов, М d t = 1. Поскольку в логарифмах эта функция линейна: In Х t = In A + a t In K t + a 2 InL t + e t , где e t = In d t , М e t = 0, получаем модель линейной множественной регрессии.

Параметры функции А, a 1 , a 2 могут быть определены по методу наименьших квадратов с помощью стандартных пакетов прикладных программ, содержащих метод множественной регрессии (например, STATGRAF или SAS для персональных ЭВМ). В качестве примера приведем мультипликативную функцию валового выпуска Российской Федерации (млрд. руб.) в зависимости от стоимости основных производственных фондов (млрд. руб.) и числа занятых в народном хозяйстве (млн. чел.) по данным за 1960-1994 гг. (все стоимостные показатели даны в сопоставимых ценах для этого периода): X=0,931K 0,539 L 0,594 Мультипликативная функция обладает также свойством 2, адекватным реальной экономике: с ростом затрат ресурсов выпуск увеличивается, т.е. Так как a 1 >0 Так как a 2 >0 Частные производные выпуска по факторам называются предельными продуктами или предельными ( маржинальными) эффективностями факторов и представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста фактора: предельный продукт фондов, предельная фондоотдача (предельная эффективность фондов); предельный продукт труда, предельная производительность (предельная эффективность труда). Для мультипликативной функции указанной выше вытекает, что предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче — с коэффициентом a 1 , а предельная производительность труда — средней производительности труда — с коэффициентом а 2 : Из чего вытекает, что при а 1 a 2 так как а 1 так как а 2 Из также видно, что мультипликативная функция обладает свойством 4 , т.е. при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет. Таким образом, мультипликативная функция при 0 1 2 Перейдем теперь к экономической интерпретации параметров А, а 1 , а 2 мультипликативной ПФ. Параметр А обычно интерпретируется как параметр нейтрального технического прогресса: при тех же а 1 , а 2 выпуск в точке (К, L ) тем больше, чем больше А. Для интерпретации а 1 , а 2 необходимо ввести понятие эластичностей как логарифмических производных факторов: Поскольку в нашем случае In Х = In А + a 1 ln К + a 1 ln L , то т.е. а 1 — эластичность выпуска по основным фондам, а a 2 - эластичность выпуска по труду. Из видно, что коэффициент эластичности фактора показывает, на сколько процентов увеличится выпуск, если фактор возрастет на 1%. Например, согласно ПФ X=0,931K 0,539 L 0,594 при увеличении основных фондов (ОФ) на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличении занятых на 1% — на 0,594%. Если а 1 > a 2 имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном случае - фондосберегающчй (экстенсивный) рост.

Рассмотрим темп роста выпуска Если возвести обе части уравнения в степень в котором справа — взвешенное среднее геометрическое темпов роста затрат ресурсов, при этом в качестве весов выступают относительные эластичности факторов При а 1 + а 2 > 1 выпуск растет быстрее, чем в среднем растут факторы , а при а 1 + а 2 K t+1 >K t , L t+1 >L t ) то согласно растет и выпуск (т.е. X t+1 >X t ), следовательно, при а 1 + а 2 > 1 т.е. действительно, темп роста выпуска больше среднего темпа роста факторов . Таким образом, при а 1 + а 2 > 1 ПФ описывает растущую экономику.

Линией уровня на плоскости К, L, или изоквантой, называется множество тех точек плоскости, для которых F ( K , L ) =Х 0 = const . Для мультипликативной ПФ изокванта имеет вид : или т.е. является степенной гиперболой, асимптотами которой служат оси координат. Для разных К, L, лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен одному и тому же значению X 0 , что эквивалентно утверждению о взаимозаменяемости ресурсов.

Поскольку на изокванте F ( K , L ) = Х 0 = const , то В этом соотношении поэтому dK и dL имеют разные знаки: если dL что означает сокращение объема труда, то dK >0, т.е выбывший в объеме труд замещается фондами в объеме dK . Поэтому естественно следующее определение, вытекающее из Предельной нормой замены S K труда фондами называется отношение модулей дифференциалов ОФ и труда: соответственно , предельная норма замены S L фондов трудом при этом S k S L =1 Для мультипликативной функции норма замещения труда фондами пропорциональна фондовооруженности: , что совершенно естественно: недостаток труда можно компенсировать его лучшей фондовооруженностью.

Изоклиналями называются линии наибольшего роста ПФ. Изоклинали ортогональны линиям нулевого роста, т.е. изоквантам.

Поскольку направление наибольшего роста в каждой точке (К, L) задается градиентом grad , то уравнение изоклинали записывается в форме В частности, для мультипликативной ПФ получаем, поэтому изоклиналь задается дифференциальным уравнением, , которое имеет решение где ( L 0 ; К 0 ) - координаты точки, через которую проходит изоклиналь.

Наиболее простая изоклиналь при а = 0 представляет собой прямую На рис. 1 изображены изокванты и изоклинали мультипликативной ПФ. При изучении факторов роста экономики выделяют экстенсивные факторы роста (за счет увеличения затрат ресурсов, т.е. увеличения масштаба производства) и рис. 1 интенсивные факторы роста (за счет повышения эффективности использования ресурсов). Возникает вопрос: как с помощью ПФ выразить масштаб и эффективность производства? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах, например представлены в соизмеримой стоимостной форме.

Однако проблема соизмерения настоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом.

Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безразмерным) показателям.В относительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом: те X 0 , K 0 L 0 — значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год.

Безразмерная форма , указанная выше , легко приводится к первоначальному виду Таким образом, коэффициент получает естественную интерпретацию - это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском. Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных (безразмерных) единицах измерения через x , k , l , то ПФ в форме запишется так: Найдем теперь эффективность экономики, представленной ПФ . Напомним, что эффективность — это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов k и настоящего труда l . Поэтому имеются два частных показателя эффективности: - фондоотдача , - производитель труда.

Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них. Так как ПФ выражена в мультипликативной форме, то и среднее естественно взять в такой же форме, т.е. среднегеометрическое значение. Итак, обобщенный показатель экономической эффективности есть взвешенное среднее геометрическое частных показателей экономической эффективности: в котором роль весов выполняют относительные эластичности т.е. частные эффективности участвуют в образовании обобщенной эффективности с такими же приоритетами, с какими входят в ПФ соответствующие ресурсы. Из k=Ek a l 1-a в соотношении с чем Е - не постоянный коэффициент, а функция от (К, L). Поскольку масштаб производства М проявляется в объеме затраченных ресурсов, то по тем же соображениям, которые были приведены при расчете обобщенного показателя экономической эффективности, средний размер использованных ресурсов (т.е. масштаб производства) M=k a l 1-a В результате получаем , что выпуск Х есть произведение экономической эффективности и масштаба производства: Х=ЕМ. Линейная производственная функция X=F(K,L)=E K K+E L L Где E K и E L частные эффективности ресурсов. E K = - фондоотдача , E L = - производитель труда.

Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них.

Эластичности замены труда фондами для линейной ПФ = эта величина показывает, на сколько процентов надо изменить фондовооруженность, чтобы добиться изменения нормы замены на 1%. Производственная функция затраты-выпуск X= F(K,L)= Где: Коэффициенты эластичности представленные в виде логарифмических производных факторов показывают, на сколько процентов увеличится выпуск, если фактор возрастет на 1%. Например, согласно ПФ X=0,931K 0,539 L 0,594 при увеличении основных фондов (ОФ) на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличении занятых на 1% — на 0,594%. Практическая часть Задача Дана производственная функция валового внутреннего продукта США по данным 1960-1995 гг. X=2,248K 0,404 L 0,803 Валовой внутренний продукт США, измеренный в млрд. дол. в ценах 1987 г. возрос с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза, основные производственные фонды за этот же период увеличились в 2,88 раза, число занятых - в 1,93 раза.

Необходимо рассчитать масштаб и эффективность производства.

Решение Из условия x = 2,82 k=2,88 l=1,93; ('начала находим относительные эластичности по фондам и труду Затем определяем частные эффективности ресурсов после чего находим обобщенный показатель эффективности как среднее геометрическое частных: Масштаб устанавливаем как среднее геометрическое темпов роста ресурсов Таким образом , общий рост ВВП с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза произошел за счет роста масштаба производства в 2,207 раза и за счет повышении эффективности производства в 1,278 раза (2,82 = 1,273 * 2,207). Заключение Выше достаточно подробно была изучена мультипликативная ПФ F(K,L) . В частности, был выяснен экономический смысл ее параметров , показано, что при 0 1 i = 1 , 2… эта функция –неоклассическая , построены изокванты и изоклинали этой функции, найдены нормы замены ресурсов.. Рассмотрены и другие производственные функции.