Геометрия

Аксиомы стереометрии.

Стереометрия - раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. С1 : какова бы ни была плоскость, существует точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. С2: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости a и b имеют общую точку, то существует прямая с , принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если точка С принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой с. С3: если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну. Это значит, что если две различные прямые a и b имеют общую точку С, то существует плоскость a , содержащая прямые a и b . Плоскость, обладающая этим свойством, единственна.

Теорема 15.1: через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство : пусть АВ - данная прямая и С - не лежащая на ней точка.

Проведем через точки А и С прямую (аксиома 1). Прямые АВ и АС различны, так как точка С не лежит на прямой АВ. Проведем через прямые АВ и АС плоскость a (аксиома С3). Она проходит через прямую АВ и точку С. Докажем, что плоскость a , проходящая через прямую АВ и точку С, единственна.

Допустим, существует другая плоскость a 1 , проходящая через прямую АВ и точку С. По аксиоме С2 плоскости a и a 1 пересекаются по прямой. Эта прямая должна содержать точки А, В и С. Но они не лежат на одной прямой. Мы пришли к противоречию.

Теорема доказана.

Параллелепипед, его элементы. Если основание призмы - параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани - параллелограммы. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

Бывает прямой и наклонный.

Прямой параллелепипед: основание - прямоугольник. У него все грани - прямоугольники.

Прямоуг параллеп , у которого все ребра равны, называется кубом. Длины непараллельных ребер прямоуг параллеп называются его линейными размерами (измерениями). У прямоуг параллеп три измерения.

Теорема 19.3 : диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Дано : параллелепипед АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 ., О - точка пересечения диагоналей С 1 А и ВД 1 . Доказательство : рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например АС 1 и ВД 1 . Так как четырехугольники АВСД и ДД 1 С 1 С - параллелограммы с общей стороной СД, то их стороны АВ и Д 1 С 1 параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней параллелепипеда по параллельным прямым АД 1 и ВС 1 . Следовательно, четырехугольник ВАД 1 С 1 - параллелограмм.

Диагонали параллелепипеда АС 1 и ВД 1 являются диагоналями этого параллелограмма.

Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам.