Метод касательных решения нелинейных уравненийПеречень ключевых понятий: производная, метод касательных, программирование, нелинейное уравнение. Объект исследования: Корни нелинейного уравнения. Цель работы: Определение корней нелинейного уравнения. Методы исследования: изучение работ отечественных и зарубежных авторов по данной теме. Полученные результаты: изучен метод касательных решения нелинейных уравнений; рассмотрена возможность составления программы на языке программирования Турбо-Паскаль 7.0 Область применения: в работе инженера. СОДЕРЖАНИЕ стр. Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную нумерацию. Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются ГОСТ 19.002-80 и ГОСТ 19.003-80. На этапе 4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В качестве языка программирования выбран язык ПАСКАЛЬ ввиду его наглядности и облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем использовать для решения более трудных задач. Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими, поэтому им уделяется большое внимание. В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные, вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных осуществляется с клавиатуры дисплея. Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается компилятором, который выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения. Задание при обработке на ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение. Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия. 1. Краткое описание сущности метода касательных ( метода секущих Ньютона) Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[ существуют отличные от нуля производные f ’ и f ”. Так как f ’(x) ¹ 0 , то запишем уравнение f (x) = 0 в виде : x = x – ( f (x) / f ’(x)) (1) Решая его методом итераций можем записать : x n+1 = x n – ( f (x n ) / f ’(x n )) (2) Если на отрезке [a;b] f ’(x) * f “(x) > 0, то нул – евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид : y = f (b) + f ’(b) * (x – b) Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f ’(x) ¹ 0, решаем его относительно x. Получим : x = b – (f (b) /f ‘(b)) Нашли абсциссу x 1 точки c 1 пересечения касательной с осью ox : x 1 = b – (f (b) – f ’ (b)) Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек . Начальное приближение x 0 = a или x 0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу ]a;b[ . В случае существования производных f ’, f ”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х 0 берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f ’(х 0 ) * f (х 0 ) > 0. Для оценки приближения используется общая формула : |c-x k -1 | | f (x k +1 )/m| , где m = min f ’(x) на отрезке [a;b] . На практике проще пользоваться другим правилом : Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 | f (x )| и e - заданная точность решения, то неравенство | x k+ 1 -x k | e влечет выполнение неравенства |c-x k -1 | e . В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство : |c-x k -1 | e . 2. Решение нелинейного уравнения аналитически Определим корни уравнения х 3 + 0,1х 2 + 0,4х – 1,2 = 0 аналитически. |
Метод касательных решения нелинейных уравнений
Проведем касательную к графику функции в точке b 1 (x 1 ; f (x 1 )).Найдем абсциссу x 2 точки с 2 пересечения касательной с осью Ox : x 2 = x 1 – (f (x 1 ) / ( f ’(x 1 )) Вообще : x k+1 = x k – ( f (x k ) / f ’(x k )) (3) Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (x k ) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке b k (x k ; f (x k 0 ) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.