Правильные многогранники или тела Платона

Правильные многогранники или тела Платона

Согласно его объяснению, хотя сами математические науки, 'пользуясь предположениями, оставляют их в неподвижности и не могут дать для них основания', предположения находят основания посредством диалектики.

Платон высказал и ряд других положений, оказавшихся плодотворными для развития математики. Так, в диалоге 'Пир' выдвигается понятие предела; идея выступает здесь как предел становления вещи. ТЕЛА ПЛАТОНА. Тела Платона - это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного многогранника конгруэнтны. Как это следует уже из подсчета суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных многогранников не больше пяти.

Указанным ниже путем можно доказать, что существует именно пять правильных многогранников (это доказал Евклид). Они - правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. ТАБЛИЦА№1

Название: Число ребер при вершине Число сторон грани Число граней Число ребер Число вершин
Тетраэдр 3 3 4 6 4
Куб 3 4 6 12 8
Октаэдр 4 3 8 12 6
Додекаэдр 3 5 12 30 20
Икосаэдр 5 3 20 30 12
ТАБЛИЦА№2
Название: Радиус описанной сферы Радиус вписанной сферы Объем
Тетраэдр а / 6 4 a/6 12 a 3 /2 12
Куб а /3 2 a 2 a 3
Октаэдр а /2 2 a/6 6 a 3 /2 12
Додекаэдр a 4 /18+6/5 1 2 25+11/5 10 a 3 4 (15+7/5)
Икосаэдр a 12(3+/5)/3 5 12 a 3 (3+/5)
Тетраэдр - четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников. ( рис.1 ) . Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами. (рис.2). Октаэдр - восьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников. (рис.3). Додекаэдр - двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник; один из пяти правильных многогранников. (рис.4). Икосаэдр - двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников. (рис.5). Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно.

Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр.

Тетраэдр дуален сам себе.

Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителенведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много! Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная , XII книга знаменитых начал Евклида. Эти многогранники часто называют также платоновыми телами в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном.