Замечательные кривыеТолько через полвека после выхода книги Галилея старший из двух братьев-математиков Бернулли – Якоб нашёл чисто теоретическим путём точную формулу провисающей цепочки. Не спеша сообщать своё решение задачи, он бросил вызов другим математикам. Правильное решение опубликовали уже в следующем 1691г. Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм Лейбниц и младший брат Якоба – Иоганн Бернулли. Все они пользовались для решения задачи, во-первых, законами механики, а во-вторых, могучими средствами недавно разработанного тогда математического анализа – производной и интегралом. Гюйгенс назвал кривую, по которой располагается цепочка, подвешенная за два конца, цепной линией. Так как цепочки бывают разной длины, да и концы их могут подвешиваться на разных расстояниях друг от друга – то ближе, то дальше, то и цепных линий существует не одна, а много. Но все они подобны между собой, как, например, подобны между собой любые окружности. График показательной функции. Оказалось, что разгадка секрета цепной линии лежит в показательной функции. В XVIII веке она была ещё новинкой, а теперь её должен знать каждый восьмиклассник. Это функция вида y = a x , где a – какое-либо положительное число, не равное 1. Вычисления показали, что для построения цепной линии удобнее всего принять a равным так называемому неперову числу, обозначаемому буквой e . Оно получило своё имя в честь шотландского математика Джона Непера – одного из изобретателей логарифмов. Число это почти столь же знаменито, как и число p ; его приближённое значение, взятое с точностью до 0,0005: e » 2,718. На рис. 2 сплошной линией изображен график показательной функции y=e x , а пунктиром - график другой показательной функции, тесно связанной с предыдущей. Если воспользоваться отрицательными показателями степеней, то последнюю функцию можно представить в виде y=e -x . Теперь ясно, что оба графика симметричны друг другу относительно оси ординат, что и обнаруживает рисунок. Подбор длины цепочки. Рассмотрим подробнее связь между кривой, изображенной на рис. 3, и формой висящей цепочки. Представим себе, что эта кривая вычерчена на строго вертикальной и совершенно гладкой стене и что нам разрешено забивать гвозди в разные точки кривой. Забьём их, как советовал Галилей, в точках A и B на одной горизонтали (впрочем, это условие несущественно). Подберём теперь тонкую цепочку, длина которой точно равна 2 l – длине дуги AB – и концы её закрепим в A и B . Тогда цепочка провиснет строго по дуге, которую мы заранее вычертили. Никаких зазоров между ней и этой кривой не будет наблюдаться. Подбор цепочки нужной длины можно производить путем проб. Взять цепочку подлиннее – с запасом, а потом подвешивать её за разные звенья в точках A и B , по мере надобности увеличивая или уменьшая длину провисающей части, пока не произойдёт совпадения (рис. 5). Но можно поступить и иначе: зная d (половину расстояния между гвоздями), найти путём вычисления l (половину длины дуги AB ) и тогда уже брать цепочку, длина которой точно равна 2 l . Такой подсчёт удаётся с помощью интеграла. Укажем здесь результат: l = 1/2 ( e d - e - d ) . Отсюда следует, что если взять на графике функции y = 1/2 ( e x - e - x ) (рис. 4) x = d , то соответствующая ордината у точки E этого графика будет равна l . Так как l = 1/2 ( e d - e - d ) r =1/2( e d - e - d ) (см. рис. 5), то получается любопытное заключение: длина дуги CB цепной линии, представленной на рис. 5 (половина длины всей цепочки) короче, чем ордината точки подвеса. С другой стороны, имеем: l > d , т.е. эта длина больше, чем абсцисса точки подвеса. А если длина не та? Как отыскать уравнение линии в случае, когда для данных точек подвеса A и B длина цепочки 2 l ` не совпадает с длиной 2 l дуги AB , принадлежащей кривой y = 1/2 ( e x - e - x ) ? В поисках ответа мы будем опираться на отмеченный выше факт, что все цепные линии подобны между собой. Пусть, например, l `> l . Тогда цепочка провиснет по некоторой дуге AC ` B , расположенной под дугой ACB (рис. 5). Мы покажем, что нужное уравнение цепной линии, которой принадлежит дуга AC ` B , можно найти в три приёма. Сначала перейти от кривой (1): y = 1/2 ( e x - e - x ) к некоторой кривой (2): y = 1/2 ( e x / k - e - x / k ) ;эта кривая получается из (1) посредством преобразования подобия с центром в точке O и коэффициентом подобия k ( k >0) . Затем перейти от кривой (2) к кривой (3): y = b + k /2 ( e x / k - e - x / k ) посредством сдвига предыдущей в направлении оси ординат (в зависимости от знака b вверх или вниз). Вся хитрость заключается в том, чтобы определить коэффициент подобия k . С этой целью отметим в плоскости вспомогательной кривой, изображённой на рис. 4, точку F с координатами x = d и y = l ` . В силу того, что l`>l , она не попадёт на кривую, а окажется выше неё. Продолжим OF до пересечения с кривой в некоторой точке G (можно доказать, что точка пересечения найдётся, помимо точки O , и притом только одна). Положим OF/OG (в нашем случае 0 1 ); тогда координатами точки G будут числа x=d/k , y=l`/k . Поэтому они будут связаны уравнением кривой: l`/k=1 /2 (e d/k -e -d/k ) . Отсюда следует, что если на кривой (1) (рис. 3) взять точки A` и B` с абсциссами –d/k и d/k , то длина дуги A`B` , их соединяющей, будет равна 2l`/k . Все цепные линии подобны. |