Эквивалентность пяти классов функций элементарных по КальмаруОпределим пять классов функций, элементарных по Кальмару. L 1 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования. L 2 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x-y, 2 x , S, а также конечного применения операции суммирования. L 3 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x-y, x*y, 2 x , S, а также конечного применения операции ограниченной минимизации. L 4 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x-y, x + y 2 x , S, а также конечного применения операции ограниченной рекурсии. L 5 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x-y, x * y , S, а также конечного применения операции мультиплицирования. Доказательство будем проводить по следующей схеме: 1. L 1 L 2 L 3 L 4 L 1 2. L 1 L 5 3. L 5 L 3 Докажем, что L 1 L 2 (для этого выразим 2 x через функции L 1 ) |
Эквивалентность пяти классов функций элементарных по Кальмару
Докажем, что L 2 L 3 (для этого выразим x*y и операцию ограниченной минимизации через функции L 2 ) 
Пусть 
тогда 
Докажем, что L 3 L 4 (для этого выразим x+y и операцию ограниченной рекурсии через функции L 3 ) 
Выразим операцию ограниченной рекурсии на основании следующего свойства функции Геделя. 
Пусть 
тогда 
Отношение, примененное в операция конечной минимизации, является элементарным по Кальмару.