Применение метода частотных диаграмм к исследованиям устойчивости систем с логическими алгоритмами управления

Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления. На ранней стадии развития теории автоматического регулирования требование устойчивости работы системы было первым и обычно единственным и содержание большинства теоретических исследований сводилось к иследованию устойчивости. “Термин “устойчивость” настолько выразителен, что он сам за себя говорит”,-отмечают в начале изложения теории устойчивости Ж. Ла Салль и С. Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и нелогичности можно встретить как раз не в математических, а в смысловых понятиях и терминах.

Устойчивостью любого явления в обиходе называю его способность достаточно длительно и с достаточной точностью сохронять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает быть самим сабой.

Однако не только в обиходе, но и в научной терминалогии устойчивым называют не явление, а систему, в корой оно наблюдается, хотя это не оправдывает логически.

Устойчивы ли физические тела - шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны. (Металлический шар устойчив, шар из дыма нет.) Теорию управления интересует, однако, не эта прочнасная устойчивость.

Подразумевается, что система управления как инженерная конструкция заведома устойчива, и в теории изучается устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не устойчивыми. Более того, одно и то же жвижение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойцивым относительно другой - это отмечал еще А.М. Ляпунов [2]. Вращение ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала.

Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе координат.

Поэтому нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких переменных изучается. Так же есть много методов для оценки самой устойчивости. Мы рассмотрим как можно оценить устойчивость системы с логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.

Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим что из себя представляет круговой критерий. Пусть дана система . x=Ax+b x , s =c’x, (1) где x и s - в общем случае векторы (и, следовательно, b и с - прямоугольные матрицы), а матрица А не имеет собственных значений на линейной оси.

Предположим , что для некоторого m , m система (1), дополненая соотношением x = - m s , асимптотически усойчива. Для абсолютной экпоненциальной устойчивости системы (1) в классе М( x = j ( s ,t), удовлетворяющих условию j ( s , t)/ s (2) достаточно, чтобы при всех w , - w + , выполнялось соотношение Re{[1+ w ) ] [ 1 + w )]}>0. (3) Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы F( x , s ) = ( s - x ) ( x - s ) . Действительно, как было показано выше, форма F(j w , x ) имеет вид F(j w , x ) = - Re{[1+ w ) ] [ 1 + w )]}| x | Из этой формулы после сокращения на | x | следует (3). В (3) ¹ - , ¹ + . Случай, когда либо = - , либо = + рассматривается аналогично.

Круговой критерий представляет собой распространение линейных частотных критериев устойчивости Найквиста, Михайлова и других на линейные системы с одним линейным или нелинейным, стационарным или нестационарным блоком. Он получается из (3), если вместо передаточной матрицы использовать частотную характеристику линейной части W(j w ). Обозначая комплексную переменную W(j w )=z, рассмотрим систему с одной нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих условий: Re[(1+ z ) ( 1 + 0, если ¹ - , ¹ + . (4) Re[(1+ z)z 0, если ¹ - , ¹ + . (5) Re[z(1+ 0, если ¹ - , ¹ + . (6) Пусть С( с центром на оси абсцисс, причем область С будет внутренностью этой окружности, если 0 , то область С будет полуплоскостью, а ее граница - вертикальной прямой, проходящей соответственно через -1/ или -1/ На рисунке 1 показаны границы в плоскости z для различного расположения секторов ( s , x . Там же изображены кривые W(j w ), w >0 для неособого случая, расположенные так, что возможна абсолютная устойчивость.

Однако только приемлимого расположения хаоактеристик W(j w ) еще недостаточно для суждения об абсолютной устойчивости : кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы линейная замкнутоя система была асимптотически устойчивой.

Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость для системы с любым блоком, вход s и выход x которого удовлетворяют для всех t неравенству ( s - x )( x - s ) ³ 0 (7) Рисунок 1, а.

Рассмотрим систему, приведенную на рис. 2. А Х Y У Z (-) G(p) g