Стохастическая диффузионная модель гетерогенных популяций

Методы описания и моделирования основывались или на вероятностях перехода или на инфинитизимальных опрераторах или на так называемых компенсаторах. Здесь мы рассмотрим процессы размножения и гибели в неоднородных популяциях в терминах метода ² случайного блуждания в случайной среде функционального типа ² (дополнение и некоторое обобщение условно-Марковского представления процессов размножения и гибели). Такое описание позволяет учесть при моделировании различные параметры окружающей среды, влияющие на развитие популяций, что, несомненно, необходимо с точки зрения адекватности модели наблюдаемым явлениям. 2.Описание модели. Итак, мы рассматриваем эволюцию двух неоднородных популяций в условиях изменения климата. В качестве параметра окружающей среды здесь выступает температура. Пусть процесс - процесс со скачками, значения которого имеют смысл средней температуры, т.е. определяют климат. В любой момент времени t процесс может принимать одно из трёх значений: процесс имеет длинные промежутки постоянства, что означает стабильность климата.

Скачок процесса определяет смену климата.

Описанный процесс может быть представлен в виде: (1) где константа , и независимые пуассоновские процессы с интенсивностью скачков Рассмотрим процесс диффузионного типа значения температуры окружающей среды, где происходит развитие популяций: (2) где из (1), - стандартный винеровский процесс, - коэффициент диффузии.

Наличие отрицательной обратной связи с параметром ² отходить далеко ² от значений процесса сразу следует за изменением климата. Таким образом текущая температура колеблется около средней температуры, что соответствует действительности.

Амплитуда этих колебаний определяется параметрами и Полагаем, что в построенных климатических условиях эволюционируют две неоднородные популяции клеток и мы разобьём на множество групп следюущим образом: интервал возможных температур (3 - возможные отклонения текущей температуры от средней ( определяется параметрами и выйдет из интервала мала) разобьём на подинтервалов длиной - снижается.

Процессы - определяют число клеток в группе i =1 , 2 ) : (3) Деление клетки в группе определяется скачком точечного процесса [1] (4) Гибель клетки в группе определяется скачком точечного процесса с компенсатором (5) где – неотрицательная, симметричная и монотонная на интервалах и функция (для упрощения в рассматриваемой модели полагали Теперь рассмотрим развитие каждой из групп Предположим, что возможны следующие ситуации при делении клетки группы 1. с вероятностью могут образоваться две клетки в группе 2. с вероятностью могут образоваться две клетки в группе 3. с вероятностью могут образоваться две клетки в группе 4. с вероятностью могут образоваться две клетки в группе при этом Положим и Пусть - последовательности независимых случайных величин с распределением: ' t ³ 0, l=(1, 2, 3, 4). Теперь численность клеток в группе (6) начальная численность группы - константа.

Гибель популяции определим как падение численности клеток ниже критического уровня N кр . При моделировании развития популяций полезно рассматривать процесс (7) значения которого имеют смысл средней температуры благоприятной для популяции и выражают степень её адаптации к климату (чем меньше величина ½ ½ , тем больше популяция i приспособлена к климату). 3.Выбор параметров моделирования.

Положим время моделирования T равным 500. Константа А=5 и параметры и выберем по правилу “3 s ” ( s =1), т.е. множество температур определено на интервале (-8;8), который разделим на подинтервалы с шагом D =0.1. Начальные количества клеток в группах определим следующим образом: если и если если и в остальных случаях.